如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．（1）求PA的长；（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．
问题描述：
如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．
答
（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，∴AC=2BC=10；∵AE∥BC，∴△APE∽△CPB，∴PA：PC=AE：BC=3：1，∴PA：AC=3：4，PA=3×104＝152．（2）BE与⊙A相切；∵在Rt△ABE中，AB=53，AE=15，∴tan∠ABE=AEAB＝1553＝...
答案解析：（1）根据已知，可判定△APE∽△CPB，从而得到相似比为PA：PC=AE：BC=3：1；
（2）BE与⊙A相切，通过已知，可求得∠ABE=60°，从而可得到∠APB=90°，即BE与⊙A相切；
（3）已知AD=5，AB=5
，所以r的变化范围为5＜r＜5
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．因为没有说明两圆是内切还是外切，所以分两种情况进行分析．
3
考试点：圆与圆的位置关系；切线的判定．
知识点：本题主要考查切线性质、圆与圆的位置关系等知识．第3小题注意要分类，试题中只说明了“⊙A和⊙C相切”，很多同学漏解，往往是由于没有仔细读题和审题．