对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.(1)当a=2,b=-2时,求f(x)的不动点.(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.

问题描述:

对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.
(1)当a=2,b=-2时,求f(x)的不动点.
(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.

解∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),
(1)当a=2,b=-2时,f(x)=2x2-x-4.
设x为其不动点,即2x2-x-4=x.
则2x2-2x-4=0.∴x1=-1,x2=2.即f(x)的不动点是-1,2.
(2)由f(x)=x得:ax2+bx+b-2=0.
由已知,此方程有相异二实根,△x>0恒成立,
即b2-4a(b-2)>0.
即b2-4ab+8a>0对任意b∈R恒成立.
∴△b<0.,
∴16a2-32a<0,
∴0<a<2.
答案解析:(1)设x为不动点,则有2x2-x-4=x,变形为2x2-2x-4=0,解方程即可.
(2)将f(x)=x转化为ax2+bx+b-2=0.由已知,此方程有相异二实根,则有△x>0恒成立求解;
考试点:二次函数的性质.


知识点:本题主要考查的知识点是二次函数的性质,方程的解法,方程根的情况以及垂直平分线定义的应用.其中根据已知中的新定义,构造满足条件的方程是解答本题的关键.