若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（ ）A. （−43，0）B. （0，34）C. （0，43）D. （-∞，0）∪（43，+∞）
问题描述：
若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（ ）
A. （−
，0）4 3
B. （0，
）3 4
C. （0，
）4 3
D. （-∞，0）∪（
，+∞） 4 3
答
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12＝ax1①
y22＝ax2②
①-②得，y12−y22＝a(x1−x2)．
整理得
＝
y1−y2
x1−x2
，a
y1+y2
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以kAB=1，即
＝1．a
y1+y2
所以y1+y2=a．
设AB的中点为M（x0，y0），则y0＝
＝
y1+y2
2
．a 2
又M在直线x+y-1=0上，所以x0＝1−y0＝1−
．a 2
则M（1−
，a 2
）．a 2
因为M在抛物线内部，所以y02−ax0＜0．
即
−a(1−a2 4
)＜0，解得0＜a＜a 2
．4 3
所以a的取值范围是（0，
）．4 3
故选C．
答案解析：设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y-1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数a的取值范围．
考试点：直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于a的不等式，是中档题．