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若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　） A.（−43，0） B.（0，34） C.（0，43） D.（-∞，0）∪（43，+∞）

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:03:27
问题描述：

若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　）
A. （−

4
3
，0）
B. （0，
3
4
）
C. （0，
4
3
）
D. （-∞，0）∪（
4
3
，+∞）

答

设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12＝ax1①
y22＝ax2②
①-②得，y12−y22＝a(x1−x2)．
整理得

y1−y2
x1−x2
＝
a
y1+y2
，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以kAB=1，即
a
y1+y2
＝1．
所以y1+y2=a．
设AB的中点为M（x0，y0），则y0＝
y1+y2
2
＝
a
2
．
又M在直线x+y-1=0上，所以x0＝1−y0＝1−
a
2
．
则M（1−
a
2
，
a
2
）．
因为M在抛物线内部，所以y02−ax0＜0．
即
a2
4
−a(1−
a
2
)＜0，解得0＜a＜
4
3
．
所以a的取值范围是（0，
4
3
）．
故选C．

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