若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是(  )A. (14,+∞)B. (34,+∞)C. (0,14)D. (14,34)

问题描述:

若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是(  )
A. (

1
4
,+∞)
B. (
3
4
,+∞)

C. (0,
1
4
)

D. (
1
4
3
4
)

设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,所以方程组y=x+by=ax2−1有两组不同的实数解,即得方程ax2-x-(1+b)=0....
答案解析:可设出对称的两个点P,Q的坐标,利用两点关于直线x+y=0成轴对称,可以设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,所以方程组y=x+by=ax2−1有两组不同的实数解,利用中点在直线上消去参数b,建立关于a的函数关系,求出变量a的范围.
考试点:直线与圆锥曲线的关系.
知识点:本题考查了直线与抛物线的位置关系,以及对称问题,体现了方程的根与系数关系及方程思想的应用,属于中档试题,有一定的计算量.