数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N*）（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1．
问题描述：
数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N*）
（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1．
答
（ I）由题意得an+1+an=4n-3…①
an+2+an+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得an+2-an=4，
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）
∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴a1＝−
．（6分）1 2
∴an＝2n−
．（7分）5 2
（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，
∴a2=-1．（8分）
又∵an+2-an=4，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，
∴a2n-1=4n-2，a2n=4n-5．（11分）
S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）（12分）
=(n+1)×2+
×4+n×(−1)+(n+1)n 2
×4n(n−1) 2
=4n2+n+2．（14分）
答案解析：（ I）由题意得an+1+an=4n-3，an+2+an+1=4n+1．所以an+2-an=4，由{an}是等差数列，公差d=2，能求出an＝2n−
．5 2
（Ⅱ）由a1=2，a1+a2=1，知a2=-1．因为an+2-an=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，故a2n-1=4n-2，a2n=4n-5．由此能求出S2n+1．
考试点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
知识点：本题数列的性质和应用，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．