已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.

问题描述:

已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.

(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.

证明:(1)∵SA⊥平面AC,
∴SA⊥BC.
∵AB⊥BC,且SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB,
∴BC⊥AE,
又∵AE⊥SB,且SB∩BC=B,
∴AE⊥平面SBC,
∴AE⊥SC,且EF⊥SC,AE∩EF=E,
∴SC⊥平面AEF,
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥CD,
又∵四边形ABCD为矩形,
∴CD⊥AD,
∴CD⊥平面ADS,
∴CD⊥AG,由(1)得SC⊥平面AEF,而AG在平面AEF上,
∴SC⊥AG,
∴AG⊥平面SDC,
∴AG⊥SD.
答案解析:(1)首先,证明SC⊥平面AEF即可,得到AF⊥SC;
(2)首先,证明CD⊥AD,然后,得到CD⊥平面ADS,再结合(1),证明AG⊥平面SDC,从而得到AG⊥SD.
考试点:空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面垂直的性质.


知识点:本题重点考查了空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质等知识,属于中档题.