P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心,(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC; (2)求S△A′B′C′:S△ABC.
问题描述:
P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心,
(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC;
(2)求S△A′B′C′:S△ABC.
答
证明:(1)如图,分别取AB,BC,CA的中点M,N,Q,
连接PM,PN,PQ,MN,NQ,QM,
∵A′,B′,C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心,
∴A′,B′,C′分别在PN,PQ,PM上,
且PC′:PM=PA:PN=PB:PQ=2:3.
在△PMN中,
=PC′ PM
=PA′ PN
,2 3
故C′A′∥MN,
又M,N为△ABC的边AB,BC的中点,MN∥AC,
∴A′C′∥AC,
∴A′C′∥平面ABC,
同理A′B′∥平面ABC,
∴平面ABC∥平面A′B′C′;
(2)由(1)知,
=A′B′ QN
,2 3
=QN AB
,1 2
∴A′B′:AB=1:3.
∴S△A′B′C′:S△ABC=(A′B′)2:(AB)2=1:9.
答案解析:(1)利用重心的性质,以及面面平行的判定定理进行证明.
(2)根据平面的相交,以及相似三角形的面积之比等于对应边的平方比,转化为对应的边之比即可.
考试点:平面与平面平行的判定;三角形的面积公式.
知识点:本题主要考查面面平行的判定,要证“面面平行”,只需要证明“线面平行”,即证“线线平行”,故问题最终转化为证线与线的平行.