在直角三角形abc中角C 等于90度,AC 等于 BC ,D是 AC 上一点,AE 垂直 BD 交 BD 的延长线于 E ,BD 等于2AE ,证BD 是角 ABC 的平分线
问题描述：
在直角三角形abc中角C 等于90度,AC 等于 BC ,D是 AC 上一点,AE 垂直 BD 交 BD 的延长线于 E ,
BD 等于2AE ,证BD 是角 ABC 的平分线
答
证明：延长AE与BC的延长线交于点F
∵∠ACB＝90
∴∠ACF＝∠ACB＝90, ∠CBD+∠CDB＝90
∵AE⊥BD
∴∠AEB＝∠FEB＝90
∴∠CAF+∠ADE＝90
∵∠CDB＝∠ADE
∴∠CBD＝∠CAF
∵AC＝BC
∴△CBD≌△CAF （ASA）
∴AF＝BD
∵BD＝2AE
∴AF＝2AE
∵AF＝AE+EF
∴EF＝AE
∵BE＝BE
∴△ABE≌△FBE （SAS）
∴∠ABE＝∠FBE
∴BD平分∠ABC
答
证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE,
∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DBC=∠FAC．
又AC=BC,
∴△ACF≌△BCD（ASA）,
∴AF=BD．
又BD=2AE,
∴AE=EF．
∴AB=BF,
∴BD是∠ABC的角平分线．