已知BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证AP=AQ,AP垂直AQ

问题描述:

已知BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证AP=AQ,AP垂直AQ

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证:∵CQ=AB,AC=BP,BD、
CE是三角形ABC的高,
∠ACQ=∠ABP
∴△AQC≌△PAB,
∴AQ=AP
∴∠APB=∠CAQ
∵∠PAD+∠APB=90°,
∴∠CAQ+∠PAC=90°,
∴AP⊥AQ

连接AP和AQ
画出三角形ABP ,QCA
因为 BD垂直于AC,所以 角ABP+角BAC=90度
因为 CE垂直于AB,所以 角ACE+角BAC=90度
所以 角ABP=角ACE
又因为 BP=AC,CQ=AB
所以 三角形ABP与三角形QCA是全等三角形
所以 AP=AQ
而且 角APB=角QAC
在三角形ADP中,角APB+角PAC=90度
所以 角QAC+角PAC=90度
所以 角PAQ=90度
即 AP垂直于AQ

所以△ABP△QCA全等,所以AP=AQ,所以