BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证:

问题描述:

BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证:
(1) AP=AQ
(2) AP丄AQ

证明:
1、在△AEC和△ADB中,∠BAC是公共角,△AEC和△ADB中有一个角是直角(已知),所以
△AEC∽△ADB,所以∠ABD=∠ACE
在△ABP和△QCA中,∠ABD=∠ACE(已证),BP=AC(已知)CQ=AB(已知)
所以△ABP≌△QCA,所以AP=AQ(对应边相等)
2、△ABP≌△QCA,所以∠QAC=∠APB,
在△ADP中∠ADP=90度,∠PAC=90-∠BPA,∠QAC=∠BPA(已证)
∠QAP=∠QAC+∠PAC=∠QAC+90-∠BPA=90,所以AP垂直AQ