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①设x，y∈R+，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．②设x≥0，y≥0，且x2+y2=4，求xy-4（x+y）-2的最小值．

分类: 作业答案 • 2022-01-03 10:17:45
问题描述：

①设x，y∈R+，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．
②设x≥0，y≥0，且x2+y2=4，求xy-4（x+y）-2的最小值．

答

①∵x，y∈R+，∴xy≤(x+y)24（当且仅当x=y时成立）∵x+y+xy=2，∴xy=2-（x+y）∴2-（x+y）≤(x+y)24解得x+y≥23-2或x+y≤-2-23（舍去）∴x+y的最小值为23-2②∵x2+y2=（x+y）2-2xy=4∴xy=(x+y)2−42≤(x+y)24（当且...
答案解析：（1）先根据均值不等式可知xy≤

(x+y)2
4
，代入x+y+xy=2中，得到关于x+y的一元二次不等式进去求得x+y的最小值．
（2）先根据x2+y2=4和xy=
(x+y)2−4
2
求出x+y的范围，进而把xy=
(x+y)2−4
2
代入xy-4（x+y）-2中，设x+y=t则有f（t）=
1
2
t2-4t-4，进而根据t的范围求得xy-4（x+y）-2的最小值．
考试点：基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．涉及了不等式和函数等知识点，有较强的综合性．

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