已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log4(-x+1)若不等式f（2^t●a）≤t,对于t∈[1,∞)恒成立,求实数a 的取值范围
问题描述：
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log4(-x+1)
若不等式f（2^t●a）≤t,对于t∈[1,∞)恒成立,求实数a 的取值范围
答
f（2^t●a）=log4(-2^t●a+1)≤t
t=log4(4^t)
log4(-2^t●a+1)≤log4(4^t)
-2^t●a+1≤4^t
a>=(1-4^t)/2^t 对于t∈[1，∞)恒成立，即a大于或等于(1-4^t)/2^t的最大值
又(1-4^t)/2^t = 1/(2^t）- 2^t
当 t 越大时2^t越大，则1/(2^t)和 - 2^t都越小
所以 当t=1时 (1-4^t)/2^t 的最大值为 -3/2
即a>=-3/2
答
因f(x)是偶函数,且当x≤0,f(x)=log4(－x＋1),则f(x)在R上是：f(x)=log4(|x|＋1),从而,不等式f[(2^t)●a]≤t就是log4(|(2^t)●a|＋1)≤t
化简就是：(2^t)a＋1≤4^t
(2^t)a＋1≤[2^t]²
设m=2^t,因t≥1,则m≥2,
即：不等式ma＋1≤m²对一切m≥2恒成立
a≤m－(1/m)
考虑到m－(1/m)在m≥2时是递增的,则要使得a≤m－(1/m)对一切m≥2恒成立,则：
a≤[m－(1/m)]的最小值,得：
a≤3/2