如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.(1)求等腰梯形的腰长;(2)证明:△ABP∽△PCE;(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求出BP的长;如果不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
(1)求等腰梯形的腰长;
(2)证明:△ABP∽△PCE;
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求出BP的长;如果不存在,请说明理由.

(1)过A作AF⊥BC于F,过点D作DH⊥BC于H,
等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
∴四边形ADHF是矩形,
∴AF=DH,FH=AD,
∵AB=DC,
∴Rt△ABF≌Rt△DCH,
∴BF=CH,
∴BF=

BC−AD
2
7−3
2
=2…(2分)
在Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2,
∴AB=4
即等腰梯形的腰长为4…(4分)
(2)证明:由∠APC为△ABP的外角得
∠APC=∠B+∠BAP,
又∵∠APC=∠APE+∠CPE,∠B=∠APE,
∴∠BAP=∠CPE.…(6分)
又由等腰梯形性质得∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCE(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似)  …(8分)
(3)存在这样的点P…(9分)
理由如下:
由DE:EC=5:3,DE+CE=DC=4,得
CE=
3
2
…(10分)
设BP=x,则PC=7-x
由△ABP∽△PCE,得
AB
PC
=
PB
CE
,即
4
7−x
=
x
3
2
 …(12分)
解得x1=1,x2=6,经检验,都符合题意
故BP=1或BP=6  …(13分)
评分说明:部分解答题有多种解法,以上各题只给出了一种解法,学生的其他解法可参照给分.
答案解析:(1)解:过A作AF⊥BC于F,由已知可得BF的长,再根据直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半得出AB即可;
(2)根据∠APE=∠B,则∠APC=∠B+∠BAP,即可得出∠BAP=∠CPE,从而证明出∴△ABP∽△PCE;
(3)结论:存在这样的点P;由DE:EC=5:3,得CE的长,设BP=x,则PC=7-x,由△ABP∽△PCE,得AB:PC=BP:CE,代入数据得出的值,即可求出BP.
考试点:相似三角形的判定与性质;解分式方程;等腰梯形的性质.
知识点:本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰梯形的性质,以及解分式方程,熟练掌握相似三角形的判定:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似.