如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B． （1）求等腰梯形的腰长； （2）证明：△ABP∽△PCE； （3）在底边BC上
问题描述：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求等腰梯形的腰长；
（2）证明：△ABP∽△PCE；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．
答
（1）过A作AF⊥BC于F，过点D作DH⊥BC于H，
等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ADHF是矩形，
∴AF=DH，FH=AD，
∵AB=DC，
∴Rt△ABF≌Rt△DCH，
∴BF=CH，
∴BF=
＝BC−AD 2
＝2…（2分）7−3 2
在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，
∴AB=4
即等腰梯形的腰长为4…（4分）
（2）证明：由∠APC为△ABP的外角得
∠APC=∠B+∠BAP，
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，
∴∠BAP=∠CPE．…（6分）
又由等腰梯形性质得∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似） …（8分）
（3）存在这样的点P…（9分）
理由如下：
由DE：EC=5：3，DE+CE=DC=4，得
CE=
…（10分）3 2
设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE，得
=AB PC
，即PB CE
=4 7−x
…（12分）x
3 2
解得x1=1，x2=6，经检验，都符合题意
故BP=1或BP=6 …（13分）
评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了一种解法，学生的其他解法可参照给分．