已知x1,x2是方程x^2-(k-2)+(k^2+3k+5)=0(k是实数）的两个实数根,求x1^2+x2^2的最小值

根据韦达定理：
x1+x2=k-2
x1x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2 = (x1+x2)^2 -2x1x2
=k^2-4k+4-2k^2-6k-10
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2 + 31
而原方程有解，所以△≥0
解得：-4≤k≤-4/3
最小值：-（5-4/3）^2 +31 = -158/9

利用根与系数关系:ax^2+bx+c=0 x1+x2=-b/a x1x2=c/a(x1,x2为方程的实数根）
x1^2+x2^2=（x1+x2)^2-2x1x2
=(k-2)^2-2*(k^2+3k+5)
=k^2-4k+4-2k^2-6k-10
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
而方程有根，则△>=0,b^2-4ac>=0
k^2-4k+4-4*(k^2+3k+5)
=-3k^2-16k-16>=0
3k^2+16k+16所以最小值应是k离对称轴K=-5最远时取到
则k=-4/3时，最小值为-（5-4/3）^2+19=50/9
（这里主要注意的是方程有实数根，K的范围计算会漏掉）

题目应该是x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0(k是实数）吧
△=(k-2)^2-4(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-4k^2-12k-20=-3k^2-16k-16≥0
3k^2+16k+16≤0
（3k+4）(k+4)≤0
-4≤k≤-4/3
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-2k^2-6k-10=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
对称轴为x=-5,此时取得最大值19,-4与-4/3在x=-5同侧
当k=-4/3时取得最小值50/9

∵x1，x2是方程x²-(k-2)x+(k²+3k+5)=0(k是实数）的两个实数根
∴x1+x2=k-2
x1·x2=k²+3k+5
∴x1²+x2²=x1²+x2²+2x1·x2-2x1·x2=(x1+x2)²-2x1·x2
=(k-2)²-2(k²+3k+5)=-k²-10k-6
∴当k=--b/2a=-5,时：x1²+x2²=19