x1 x2是关于x的方程 x^2-(2k+1)x+k^2+1=0的两个实数根,若x1,x2都大于1,且2x1=x2,求k的值RT
问题描述：
x1 x2是关于x的方程 x^2-(2k+1)x+k^2+1=0的两个实数根,若x1,x2都大于1,且2x1=x2,求k的值
RT
答
3x1=2k+1
2x1²=k^2+1
4k^2+4k+1)/9=(k^2+1)/2
8k^2+8k+2=9k^2+9
k^2-8k+7=0
k=7或者1
k=1时,方程是x^2-3x+2=0
x1,x2=2,1 不合题意,舍
k=7时,方程是x^2-15x+50=0
x1,x2=10,5 成立
k=7
答
韦达定理:
x1+x2=2k+1
x1x2=k^2+1
又2x1=x2.
有:
x1+2x1=3x1=2k+1
x1*2x1=2x1^2=k^2+1
2*[(2k+1)/3]^2=k^2+1
2(4k^2+4k+1)/9=k^2+1
8k^2+8k+2=9k^2+9
k^2-8k+7=0
(k-1)(k-7)=0
k=1或7
又x1,x2>1,则有:x1+x2=2k+1>2,x1x2=k^2+1>1
得:k>1/2.
k=1时,方程是x^2-3x+2=0,成立.
k=7时,方程是x^2-15x+50=0,成立.
所以k=1或7
答
根据韦达定理有x1+x2=2k+1x1x2=k^2+12x1=x2所以3x1=2k+12x1²=k^2+1x1,x2都大于12k+1>2k>1/2△=4k^2+4k+1-4k^2-4>0 k>3/4(4k^2+4k+1)/9=(k^2+1)/28k^2+8k+2=9k^2+9k^2-8k+7=0k=7或者1