设函数f（x）=x2+bln（x+1），（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．
问题描述：
设函数f（x）=x2+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．
答
知识点：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．
（1）由x+1＞0得x＞-1∴f（x）的定义域为（-1，+∞），对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，f/(x)＝2x+bx+1，∴2+b2＝0，解得b=-4．（2）∵f/(x)＝2x+bx+1＝2x2+2...
答案解析：（1）根据对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立知函数f（x）在定义域内的最小值为f（1），从而得到f′（1）=0即可
（2）要求函数f（x）在定义域上是单调函数，即要求f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，然后分类讨论：当f′（x）≥0时，即2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-2x=−2(x+
)2+1 2
恒成立；当f′（x）≤0时，2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，故不符合题意1 2
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．