x^2-(6+i)+9+ai=0(a∈R)有实数根b,复数z满足｜z－a－bi｜＝2｜z｜,求z在何时,｜z｜有最小值并求出最小
问题描述：
x^2-(6+i)+9+ai=0(a∈R)有实数根b,复数z满足｜z－a－bi｜＝2｜z｜,求z在何时,｜z｜有最小值并求出最小
答
x^2-(6+i)+9+ai=0 少了一个 x 姑且当成是有 x 的吧.
b是方程的根,那么应有 b^2 - (6 + i)b + 9 + ai = 0 ,由实部和虚部分别为 0 的条件可得
b^2 - 6b + 9 = 0 和 a = b ,于是得 a = b = 3
因此 z 应满足条件 ｜z－3－3i｜＝ 2｜z｜
设 z = x + iy 则条件｜z－3－3i｜＝ 2｜z｜化为 (x - 3)^2 + (y -3)^2 = 4(x^2 + y^2) ,展开化简得 (x+1)^2 + (y+1)^2 = 8 ,由方程可知 z 位于 以 （-1 ,-1）为圆心 ,以 2√2 为半径的圆上,显然由几何关系可知连结圆心和原点的直线与圆的交点处｜z｜可分别取得最大值和最小值,简单计算可知 |z|的最小值是 √2 最大值是 3√2 .