已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a,b的值. (2)若复数z满足|.Z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.

问题描述:

已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数z满足|

.
Z
-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.

(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

b2−6b+9=0
a=b
解之得a=b=3.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),由|
.
Z
-3-3i|=2|z|,
得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),
即(x+1)2+(y-1)2=8,
∴z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2
2
为半径的圆,如图所示,
如图,

当z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值,
∵|OO1|=
2

半径r=2
2

∴当z=1-i时.
|z|有最小值且|z|min=
2