设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. 6B. 3C. 2D. 33
问题描述：
设双曲线
-x2 a2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）y2 b2
A.
6
B.
3
C.
2
D.
3
3
答
知识点：本题考查了双曲线的离心率，关键是根据双曲线的定义以及等边三角形的性质，找出几何量a，c之间的关系，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．
由题意可知，M，N关于x轴对称，
∴|NF2|=
，|F1F2|=2c，b2 a
∵△MNF1为正三角形，
结合双曲线的定义，得到MF1=MF2+2a，
∴（
+a×2）×b2 a
=2c，
3
2
∴
（c2+a2）=4ac，
3
两边同除以a2，得到
e2−4e+
3
＝0，解得e=
3
或e=
3
＜1（舍去）；
3
3
故选B．
答案解析：根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF2|=
，|F1F2|=2c，根据△MNF1为正三角形，得到（b2 a
+a）×b2 a
=2c，整理此方程可得双曲线的离心率．
3
2
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查了双曲线的离心率，关键是根据双曲线的定义以及等边三角形的性质，找出几何量a，c之间的关系，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．