在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,则△ABC的形状是(  )A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形

问题描述:

在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,则△ABC的形状是(  )
A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形

∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc∴[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc∴(b+c)2-a2=3bcb2+2bc+c2-a2=3bcb2-bc+c2=a2根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosAbc=2bccosAcosA=12∴A=60°sinA=2sinBcosCsin(B+C...
答案解析:通过(a+b+c)(b+c-a)=3bc化简整理得b2-bc+c2=a2,利用余弦定理中求得cosB,进而求得B=60°,把B代入sinA=2sinB cosC中化简整理求得tanA,进而求得A,最后根据三角形内角和求得C,进而可判断三角形的形状.
考试点:三角形的形状判断.
知识点:本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式.