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已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若α∈(−π3，π2)，f(α+π3)＝13，求sin(2α+5π3)的值．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 13:32:54
问题描述：

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈(−

π
3
，
π
2
)，f(α+
π
3
)＝
1
3
，求sin(2α+
5π
3
)的值．

答

（Ⅰ）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T=2π，则ω＝2πT＝1．∴f（x）=sin（x+ϕ）．（2分）∵f（x）是偶函数，∴ϕ＝kπ+π2(k∈Z)，又0≤ϕ≤π，∴ϕ＝π2．则 f（x）=cosx．（5分）（Ⅱ）由已知得...
答案解析：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，确定函数的周期，求出ω，确定ϕ的值，求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈(−

π
3
，
π
2
)，f(α+
π
3
)＝
1
3
，求出，cos(α+
π
3
)＝
1
3
，利用诱导公式化简sin(2α+
5π
3
)，然后再用二倍角公式求出它的值．
考试点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

知识点：本题是中档题，考查函数解析式的求法，诱导公式和二倍角的应用，考查计算能力，根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据．

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