已知α，β∈(0，π2)，满足tan（α+β）=4tanβ，则tanα的最大值是（ ）A. 14B. 34C. 342D. 32
问题描述：
已知α，β∈(0，
)，满足tan（α+β）=4tanβ，则tanα的最大值是（ ）π 2
A.
1 4
B.
3 4
C.
3 4
2
D.
3 2
答
∵tan（α+β）=4tanβ，
∴
=4tanβ，tanα+tanβ 1−tanαtanβ
∴4tanαtan2β-3tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（0，
），π 2
∴方程①有两正根，tanα＞0，
∴△=9-16tan2α≥0，
∴0＜tanα≤
．3 4
∴tanα的最大值是
．3 4
故选B
答案解析：利用两角和的正切将tan（α+β）=4tanβ转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案．
考试点：两角和与差的正切函数．
知识点：本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程中韦达定理的应用，考查转化思想与方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解决，属于中档题．