已知点F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )A. (1,+∞)B. (1,3)C. (1,2)D. (1,1+2)

问题描述:

已知点F1、F2分别是双曲线

x2
a2
y2
b2
=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )
A. (1,+∞)
B. (1,
3
)

C. (1,2)
D. (1,1+
2
)

根据题意,易得AB=2

b2
a
,F1F2=2c,
由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,
只要∠AF2B为锐角,即AF1<F1F2即可;
所以有
b2
a
<2c

即2ac>c2-a2
解出e∈(1,1+
2
)

故选D.
答案解析:由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形,所以△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可,由此可知
b2
a
<2c
,从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围.
考试点:双曲线的简单性质;双曲线的应用.
知识点:本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断,在解题过程中要注意隐含条件的挖掘.