在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC． （Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列； （Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
问题描述：
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
答
（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（
+ sinA cosA
）=sinC cosC
sinAsinC cosAcosC
∴sinB•
=sinAcosC+sinCcosA cosAcosC
sinAsinc cosAcosC
∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin2B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b2=ac，
所以a，b，c成等比数列．
（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，
∴cosB＝
＝
a2+c2−b2
2ac
，3 4
∵0＜B＜π
∴sinB=
＝
1−cos2B
7
4
∴△ABC的面积S＝
acsinB＝1 2
×1×2×1 2
＝
7
4
．
7
4