函数y=sinα+cosα-4sinαcosα+1,且2sin^2α+sin2α/1+tanα=k,π/4

问题描述:

函数y=sinα+cosα-4sinαcosα+1,且2sin^2α+sin2α/1+tanα=k,π/4(1)把y表示成k的函数f(k).(2)求f(k)的最大值.

你的表达可能有点问题,是不是[2(sinα)^2+sin2α]/(1+tanα)=k?若是这样,则方法如下:
第一个问题:
∵π/4<α<π/2,∴sinα+cosα>0,
∴k=[2(sinα)^2+2sinαcosα]/[(cosα+sinα)/cosα]
=2sinα(sinα+cosα)cosα/(sinα+cosα)=2sinαcosα.
∴y=√(sinα+cosα)^2-2k+1=√[(sinα)^2+(cosα)^2+2sinαcosα]-2k+1
=√(1+k)-2k+1=1-2k+√(1+k).
即:f(k)=1-2k+√(1+k).
第二个问题:
∵k=2sinαcosα=sin2α,又π/4<α<π/2,∴π/2<2α<π,∴0<k<1.
而f(k)=3-2(1+k)+√(1+k)=-2[(1+k)-(1/2)√(1+k)+1/4]+1/2+3
=-2[√(1+k)-1/2]^2+7/2.
显然,当√(1+k)=1/2时,f(k)有最大值为7/2.
由√(1+k)=1/2,得:1+k=1/4,∴k=3/4,满足0<k<1,∴√(1+k)=1/2是合理的,
∴函数f(k)的最大值是7/2.