在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b＝3，则a+c的最大值为（ ） A.32 B.3 C.23 D.9
问题描述：
在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b＝
，则a+c的最大值为（ ）
3
A.
3 2
B. 3
C. 2
3
D. 9
答
∵在△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，即2bcosB=acosC+ccosA，
∴根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）．
又∵△ABC中，sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB＞0
∴2sinBcosB=sinB，两边约去sinB得2cosB=1，即cosB=
，1 2
根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
∵b＝
，∴a2+c2-ac=3，可得（a+c）2=3+3ac．
3
根据基本不等式，得ac≤
，(a+c)2
4
∴（a+c）2=3+3ac≤3+
（a+b）2，解之得（a+c）2≤12．3 4
由此可得当且仅当a=c=
时，a+c的最大值为2
3
．
3
故选：C