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在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，c cosA成等差数列． （I）求角B的大小； （Ⅱ）若b=3，试求△ABC面积S的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 17:06:15
问题描述：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，c cosA成等差数列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

3
，试求△ABC面积S的最大值．

答

（I）由题意可得，在△ABC中，2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=

1
2
，∴角B=
π
3
．
∵（Ⅱ）若b=
3
，∵B=
π
3
，由余弦定理可得 b2=a2+c2-2ac•cosB，即 3=a2+c2-ac．
再由  a2+c2≥2ac，可得 3≥ac，∴△ABC面积S=
1
2
ac•sinB≤
3
2
×
3
2
=
3
3
4
，
故△ABC面积S的最大值为
3
3
4
．

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