设α1,α2,…,αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由它们线性表示,证明:α1,α2,…,αn线性无关.
问题描述:
设α1,α2,…,αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由它们线性表示,证明:α1,α2,…,αn线性无关.
答
证明:由于任意一组n维向量都可以由n维单位向量组线性表示,即
α1,α2,…,αn能由n维单位坐标向量e1,e2,…,en线性表示
而已知“n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由α1,α2,…,αn线性表示”
∴α1,α2,…,αn是与n维单位坐标向量e1,e2,…,en等价的
∴r(α1,α2,…,αn)=r(e1,e2,…,en)=n
∴α1,α2,…,αn线性无关.