设A是n阶方阵,α1,α2...αn是n个线性无关的n维向量,证明rankA=n的充分必要条件是Aα1,Aα2,.,Aαn也线性无关.

问题描述:

设A是n阶方阵,α1,α2...αn是n个线性无关的n维向量,证明rankA=n的充分必要条件是Aα1,Aα2,.,Aαn也线性无关.

若,α1,α2...αn线性无关,令k1Aa1+k2Aa2+---+knAan=0得 A(k1a1+k2a2+---+knan)=0,(1)由rankA=n可知A可逆,将(1)式两边左乘A的逆,得k1a1+k2a2+---+knan=0由α1,α2...αn是n个线性无关可得k1=k2=---=kn=0,所以Aα1,...