已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−1/2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-30 13:09:07

问题描述：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

答

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y＝−

．
∴f（1）=1+a+b=-

，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-

，b=0，
∴f（x）=x³-

x²，
（2）f（x）=x³-

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³-

x²=0，可得x=0或x=

，
∴0＜m＜

时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥

时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3−

m2．

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−1/2． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．