如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.(1)求证:A1C1⊥AB;(2)求点B1到平面ABC1的距离.

问题描述:

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.

(1)求证:A1C1⊥AB;
(2)求点B1到平面ABC1的距离.

(1)证明:连接A1B,则A1B⊥AB1.又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.又∵A1C1⊥BB1,∴A1C1⊥平面ABB1.∴A1C1⊥AB.(2)由(1)知AB⊥AC,∵AB⊥AC1,又∵AB=1,BC=2,∴AC=3,AC1=2.∴S△ABC1=1....
答案解析:(1)欲证A1C1⊥AB,可先证A1C1⊥平面ABB1,根据线面垂直的判定定理可知只需证AB1⊥A1C1,A1C1⊥BB1
(2)由(1)知点B1到平面ABC1的距离是三棱锥B1-ABC1的高,求出S△ABC1,再利用换低公式和体积相等求出点B1到平面ABC1的距离.
考试点:点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.
知识点:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及点、线、面间的距离计算等有关知识,注意求点到面的距离可用体积相等和换底求解;属于中档题.