如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为2，D为A1C1中点． （Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D； （Ⅱ）三棱锥B-AB1D的体积．
问题描述：
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为
，D为A1C1中点．
2
（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）三棱锥B-AB1D的体积．
答
（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，故DE为△A1BC1的中位线，∴BC1∥DE．
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（6分）
（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥平面A1B1C1，AA1⊥DH，AA1∩A1B1=A1，
∴DH⊥平面ABB1A1．DH为三棱锥D-ABB1的高．（8分）
∵S△ABB1=
•AB•BB1=1 2
MH=
2
A1B1=1 2
，（10分）
2
且 DH=A1Dtan
=π 3
，
3
2
∵VB-AB1D=VD-ABB1=
×1 3
×
3
2
=
2
．（12分）
6
6