设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（ ） A.λ1=0 B.λ2=0 C.λ1≠0 D.λ2≠0
问题描述：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为
，α1
，则α2
，A（α1
+α1
）线性无关的充分必要条件是（ ）α2
A. λ1=0
B. λ2=0
C. λ1≠0
D. λ2≠0
答
法一：
令：k1α1+k2A（α1+α2）=0，
有：k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，
即：（k1+k2λ1）α1+k2λ2α2=0，
由于α1，α2线性无关，
于是有：
，
k1+k2λ1＝0
k2λ2＝0
当λ2≠0时，
显然有k1=0，k2=0，此时：α1，A（α1+α2）线性无关；
反过来，
若α1，A（α1+α2）线性无关，则必然有λ2≠0（否则，α1与A（α1+α2）=λ1α1线性相关）．
故选：B．
法二：
由于[α1，A（α1+α2）]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2]
，
1
λ1
0
λ2
所以：α1，A（α1+α2）线性无关的充要条件是
=λ2≠0，
.
1
λ1
0
λ2
.
故选：D．