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已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其准线过双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M（3/2，-6），求抛物线和双曲线的方程．

分类: 作业答案 • 2021-11-13 00:10:23
问题描述：

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其准线过双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M（
3
2
，-
6
），求抛物线和双曲线的方程．

答

由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．
设抛物线方程为y2=4c•x，
∵抛物线过点（

3
2
，-
6
），∴6=4c•
3
2
．
∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．
又双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1过点（
3
2
，-
6
），
∴
9
4a2
−
6
b2
＝1．①
又a2+b2=c2=1．②
由①②可得a2=
1
4
或a2=9（舍）．
∴b2=
3
4
，
故双曲线方程为：4x2-
4y2
3
=1．

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