已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点,而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点(−32,6),求抛物线和双曲线的方程.

问题描述:

已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2
a2
y2
b2
=1的右焦点,而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点(−
3
2
6
)
,求抛物线和双曲线的方程.

由题意,设抛物线方程为y2=-2px(p>0)
∵抛物线图象过点(−

3
2
6
),∴6=−2p×(−
3
2
)
,解之得p=2.
所以抛物线方程为y2=-4x,准线方程为x=1.
∵双曲线的右焦点经过抛物线的准线,∴双曲线右焦点坐标为(1,0),c=1
∵双曲线经过点(−
3
2
6
)
,∴
9
4
a2
6
b2
=1

结合c2=a2+b2=1,联解得a2
1
4
b2
3
4
或a2=9,b2=-8(舍去)
∴双曲线方程为
x2
1
4
y2
3
4
=1

综上所述,抛物线方程为y2=-4x,双曲线方程为
x2
1
4
y2
3
4
=1

答案解析:根据题中的点在抛物线上,列式解出抛物线方程为y2=-2x,从而算出双曲线右焦点坐标为(1,0),可得c2=a2+b2=1.再由点(−
3
2
6
)
在双曲线上建立关于a、b的方程,联解得到a、b的值,即可得到双曲线的方程.
考试点:双曲线的标准方程;抛物线的标准方程.
知识点:本题给出双曲线与抛物线交于定点,已知双曲线的右焦点在抛物线的准线上,求抛物线与双曲线的方程.着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.