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过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 17:00:21
问题描述：

过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．

答

设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），
则直线l的方程为

x
a
+
y
b
=1，
又∵P（4，1）在直线l上，
∴
4
a
+
1
b
=1，…（6分）
又∵1=
4
a
+
1
b
≥2
4
ab
，
∴ab≥16，∴S=
1
2
ab≥8，
等号当且仅当
4
a
=
1
b
=
1
2
，即a=8，b=2时成立，
∴直线l的方程为：x+4y-8=0，Smin=8．         …（12分）

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