求证:对任何正整数n,3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除
问题描述：
求证:对任何正整数n,3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除
答
3^(4n+2)+5^(2n+1)
=3^(4n)*3^2+5^(2n)*5
=9*81^n+5*25^n
=9*(77+4)^n+5*(21+4)^n
展开以后,不含因数7的项只有两个,9*4^n和5*4^n
9*4^n+5*4^n
=14*4^n
也能被7整除
所以3^(4n+2)+5^(2n+1)能被7整除
答
这个用数学归纳法证吧!1.当n=1时,9+5=14,所以对任何正整数n,3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除是成立的,
2.假设当n=k时,3^(4k+2)+5^(2k+1)能被14整除
当n=k+1时,3^(4k+6)+5^(2k+3)=3^4*3^(4k+2)+5^2*5^(2k+1)=81*3^(4k+2)+25*5^(2k+1)=25[3^(4k+2)+5^(2k+1)]+56*3^(4k+2)
因为3^(4k+2)+5^(2k+1)能被14整除 并且56*3^(4k+2)是能被14整除的
所以当n=k+1时,3^(4k+6)+5^(2k+3)能被14整除
证毕,得出结论对任何正整数n,3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除