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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点坐标为（0，3），离心率为1/2．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求AP•FP的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 10:19:50
问题描述：

已知椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
=1（a>b>0）的上顶点坐标为（0，
3
），离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求
AP
•
FP
的取值范围．

答

（1）设椭圆C的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)，
由已知b=
3
， 
c
a
=
1
2
，
所以a=2， b=
3
， c=1，
得椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）设P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），则
PA
=(-2-x，-y)，
PF
=(1-x，-y)，
∴
PA
•
PF
=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=
1
4
x2+x+1(-2≤x≤2)．
当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
∴
PA
•
PF
∈[0，4]

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