已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD为直径的圆E的方程; (2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.

问题描述:

已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程;
(2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.

(1)将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,
则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.
所以CD的中点E(-1,2),|CD|=

22+42
=2
5

∴r=
5

故所求圆E的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
(2)直线l的方程为y-0=k(x+2),
即kx-y+2k=0.
若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离
|0−4+2k|
k2+1
>2
,解得k<
3
4