若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围是_.

问题描述:

若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围是______.

令f(a)=ax2+(a-2)x-2=( x2+x)a-2x-2,是关于a的一次函数,由题意得
f(1)=( x2+x)-2x-2>0,或 f(3)=( x2+x)•3-2x-2>0.
即x2 -x-2>0①,或3x2+x-2>0 ②. 
解①可得 x<-1,或 x>2. 解②可得 x<-1或x>

2
3

把①②的解集取并集可得 x<-1,或x>
2
3

故答案为{x|x<-1,或x>
2
3
}.