设a为实数，函数f（x）=x3-x2-x+a．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 16:09:02

问题描述：

设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

答

（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x1=-

，x2=1．
又∵当x∈（-∞，-

）时，f'（x）＞0；
当x∈（-

，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
∴x1=-

与x₂=（1分）别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）_极大值=f(-

)=a+

；f（x）_极小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，-

）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即a+

＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

）∪（1，+∞）

设a为实数，函数f（x）=x3-x2-x+a． （Ⅰ）求f（x）的极值； （Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．