圆的方程是(x-cosθ)^2+(y-sinθ)^2=1/2,当θ从0变化到2π时,动圆所扫过的面积是多少?
问题描述：
圆的方程是(x-cosθ)^2+(y-sinθ)^2=1/2,当θ从0变化到2π时,动圆所扫过的面积是多少?
答
2√2π.
答
由题意可知：圆心的轨迹是圆心在原点，半径为1，在第一象限，含与x,y轴交点的圆弧。
动圆的半径是[2^(1/2)]/2,所以动圆扫过的面积为：
(1/4)*π[(1+[2^(1/2)]/2)^2-(1-[2^(1/2)]/2)^2]+π*(1/2)=(1/2)π(2^(1/2)+1)
答
动圆的圆心轨迹为单位圆,动圆半径为2^(-1/2),动圆扫过的区域是圆环.
圆环的内圆半径为r=1-2^(-1/2),外圆半径为R=1+2^(-1/2),
所以圆环的面积为π(R^2-r^2)=π(R+r)(R-r)=2√2π.