证明设A是m*n阶实矩阵则A^(T)A=0的充分必要条件是A=0
问题描述：
证明设A是m*n阶实矩阵则A^(T)A=0的充分必要条件是A=0
答
证明: 充分性
因为 A = 0
所以 A'A =0( A' = A^T )
必要性:
因为A'A=0, 所以对任意 n维列向量x 都有
x'A'Ax = 0
即有 (Ax)'Ax = 0.
所以 Ax = 0
取 ei = (0,...,0,1,0,...,0)', 第i个分量等于其余为0的n维向量.i=1,2,...,n
则 Aei = 0.
而 Aei 等于 A的第i列构成的列向量.i=1,2,...,n
所以 A = 0.
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