已知△ABC中,三个内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若△ABC面积为S且2S=(a+b)2-c2,求tanC的值
问题描述：
已知△ABC中,三个内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若△ABC面积为S且2S=(a+b)2-c2,求tanC的值
答
∵2S＝(a＋b)²－c²＝(a＋b＋c)(a＋b－c)
∴∠A＋∠B＝∠C
∴∠C＝90°
∴tan C＝∞
答
∵2S=(a+b)²-c²
∴absinC= a²+b²-c²+2ab.
由余弦定理得：cosC=( a²+b²-c²)/(2ab),
上式可化为：absinC=2ab cosC+2ab.
sinC=2 cosC+2
sinC-2 cosC=2
两边平方得：sin²C-4 sinC cosC+4 cos²C=4
sin²C-4 sinC cosC-4 sin²C=0
3 sin²C=-4 sinC cosC
所以tan C=-4/3.
答
根据题意
△ABC=1/2×absinC=S
2S=（a+b）²-c²
absinC=a²+b²+2ab-c²（1）
余弦定理
cosC=（a²+b²-c²）/2ab
2abcosC=a²+b²-c²（2）
（1）-（2）
absinC-2abcosC=2ab
sinC-2cosC=2
sinC/（1+cosC）=2
tan（C/2）=2
tanC=2tan（C/2）/（1-tan²C/2）
=2×2/（1-4）=-4/3