已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点.已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且向量PF1·向量PF2=c²,则此椭圆离心率的取值范围是_____.

问题描述:

已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点.
已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且向量PF1·向量PF2=c²,则此椭圆离心率的取值范围是_____.

向量PF1•向量PF2=|PF1|*|PF2|cos∠F1PF2=c²
设坐标 P(x,y),则向量 PF1={-c-x,-y},向量 PF2={c-x,-y};
向量PF1•向量PF2=-(c-x)²+y² =c²;
∴ y²=c²+(c-x)²=2c²-2cx+x²,代入椭圆方程:x²/a²+[2c²-2cx+x²]/b²=1;
将方程通分化简 (a²+b²)x²-2a²cx+a²(2c²-b²)=0;
当 △=(2a²c)²-4(a²+b²)*a²(2c²-b²)≥0 时方程有解(即 P 才存在),∴ a²c²-(2a²-c²)(3c²-a²)≥0;
展开并以 e=c/a 代入:3(e²)²-6e²+2≥0,∴ e²≤1-√3/3;
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