椭圆的中心在原点,右焦点为(1,0),过右焦点的弦AB的斜率为1,若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点.求椭圆方程.
问题描述：
椭圆的中心在原点,右焦点为(1,0),过右焦点的弦AB的斜率为1,若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点.求椭圆方程.
答
椭圆的左焦点为：C（-1,0）
设A(x1,y1） B（x2,y2）
由于：AC⊥BC
所以y1/(x1+1) * y2/(x2+1) =-1
即（x1+1）*（x2+1）+y1*y2=0
由于：y1=x1-1 y2=x2-1
即（x1+1）*（x2+1）+（x1-1）*（x2-1）=0
所以 x1*x2=-1
设a^2=m 所以a^2-b^2=c^2
将y=x-1代入椭圆方程：x2/m+y^2/（m-1）=1
即 x^2(2m-1)-2mx-m^2+2m=0
由于x1,x2为该方程的两根
所以 x1x2=（-m^2+2m）/(2m-1)
=-1
所以m=2+√3 或2-√3
由于m>1
所以m=2+√3,即a^2=2+√3
椭圆方程为x^2/(2+√3)+y^2/(1+√3)=1