如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB＝PD＝2，E和F分别是CD和PC的中点． （1）求证：PA⊥底面ABCD； （2）求证：平面FBE∥平面PAD； （3）求三棱锥F-BCE的体积
问题描述：
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB＝PD＝
，E和F分别是CD和PC的中点．
2
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求证：平面FBE∥平面PAD；
（3）求三棱锥F-BCE的体积．
答
（Ⅰ）证明：∵AB=AD=AP=1，PB＝PD＝
，
2
∴PA2+AD2=PD2，∴PA2+AD2=PD2，
∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
同理可得：PA⊥AB，AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD．
（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴ABED为平行四边形，
∴BE∥AD，
又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
由于EF是△PCD的中位线，∴EF∥DP，
同理得∴EF∥平面PAD，
又EF∩BE=E，
∴平面FBE∥平面PAD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，
由已知AP=1，F是PC的中点，得F到底面ABCD的距离为
PA＝1 2
，1 2
由已知AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=1，
S△BCE=
×1×1＝1 2
，1 2
∴三棱锥F-BCE的体积V=
×1 3
×1 2
＝1 2
．1 12