已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是_.

问题描述:

已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是______.

求导函数可得:f′(x)=2ax-lnx
∵函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=2ax-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立
∴2a≥

lnx
x

令g(x)=
lnx
x
(x>0),则g′(x)=
1−lnx
x2

令g′(x)>0,可得0<x<e;令g′(x)<0,可得x>e;
∴函数在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减
∴x=e时,函数取得最大值
1
e

∴2a≥
1
e

a≥
1
2e

故答案为:[
1
2e
,+∞)